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  • 设A是给定的正有理数．（1）若A是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数x、y、z，使得x2-y2=y2-z2=A．（2）若存在3个正有理数x、y、z，满足x2-y2=y2-z2=A，证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设A是给定的正有理数．
      （1）若A是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数x、y、z，使得x      2-y2=y2-z2=A．
      （2）若存在3个正有理数x、y、z，满足x      2-y2=y2-z2=A，证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设a，b，c是直角三角形的三边长，a，b，c都是有理数，且a2+b2=c2，
      1
      2
      ab=A，
      若a=b，则2a      2=c2，
      c
      a
      =
      √2
      ，这与a，c都是有理数的假定矛盾，故a≠b．
      不妨设a＜b，取x=
      a+b
      2
      ，y=
      c
      2
      ，z=
      b-a
      2
      ，则x，y，z都是有理数，
      且x      2-y2=
      (a+b)2-c2
      4
      =
      1
      2
      ab=A，y2-z2=
      c2-(b-a)2
      4
      =
      1
      2
      ab=A．

      （2）设三个有理数x，y，z满足x      2-y2=y2-z2=A，则x＞y＞z，取a=x-z，b=x+z，c=2y，则a，b，c都是有理数，
      且a      2+b2=2（x2+z2）=4y2=c2，
      1
      2
      ab=
      1
      2
      （x2-z2）=
      1
      2
      [（x2-y2）+（y2-z2）]=A．
      即存在一个三边长a，b，c都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．
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