将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写到八边形ABCDEFGH的8个顶点上，并且以S1，S2，…，S8分别表示（A，B，C），（B，C，D），…，（H，A，B）8组相邻的三个顶点上的数字之和．（1）试给出一个填法，使得S1，S2，…，S8都大于或等于12；（2）请证明任何填法均不可能使得S1，S2，…，S8都大于或等于13．试题及答案-解答题-云返教育

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将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写到八边形ABCDEFGH的8个顶点上，并且以S₁，S₂，…，S₈分别

表示（A，B，C），（B，C，D），…，（H，A，B）8组相邻的三个顶点上的数字之和．
（1）试给出一个填法，使得S₁，S₂，…，S₈都大于或等于12；
（2）请证明任何填法均不可能使得S₁，S₂，…，S₈都大于或等于13．

试题解答

见解析

解：（1）不难验证，如图所示填法满足．s₁，s₂，…s₈都大于或等于12．

（2）显然，每个顶点出现在全部8组3个相邻顶点组的3个组中，所以有s₁+S₂+…+S₈=（1+2+3+…+8）?3=108．如果每组三数之和都大于或等于13，因13?8=104，所以至多有108-104=4个组的三数之和大于13．
由此我们可得如下结论：
1、相邻两组三数之和一定不相等．设前一组为（i，j，k），后一组为（j，k，l）．若有i+j+k=j+k+l，则l=i，这不符合填写要求；
2、每组三数之和都小于或等于14．因若有一组三数之和大于或等于15，则至多还有另外两个组，其三数之和大于13，余下5个组三数之和等于13，必有相邻的两组相等，这和上述结论（1）不符．
因此，相邻两组三数之和必然为13或14．不妨假定1填在B点上，A点所填为i，C点所填为j．
1、若S₁=i+1+J=13，则s₂=1+j+l=14，S₃=j+l+k=13，因J＞1，这是不可能的．
2、若s_l=i+1+j=14，则S₂=1+j+（i-1）=13，S₃=j+（i-1）+2：14，s₄=（i-1）+2+（j-1）=13，这时S₅=14，只能是S=2+（j-1）+i，i重复出现：所以不可能有使得每组三数之和均大于或等于13的填法．

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