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  • 已知：点A、B分别是直线m、n上两点，在直线n上找一点C，使BC=AB，连接AC，在线段AC上取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F．（1）当∠ABC=60°时（如图1），求证：AE+AF=BC；（2）当∠ABC=90°时（如图2），则AE、AF、BC之间的数量关系是 ；（3）当∠ABC=120°时（如图3），设EF与AB交于点M，若AC=4√3，AF=1，求EM的长．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      已知：点A、B分别是直线m、n上两点，在直线n上找一点C，使BC=AB，连接AC，在线段AC上取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F．
      （1）当∠ABC=60°时（如图1），求证：AE+AF=BC；
      （2）当∠ABC=90°时（如图2），则AE、AF、BC之间的数量关系是                ；
      （3）当∠ABC=120°时（如图3），设EF与AB交于点M，若AC=4
      √3
      ，AF=1，求EM的长．

      试题解答

      BC=
      √2
      AE+AF
      解：（1）在AB上截取AG=AF，则△AFG是等边三角形，连接FG、FB（如图1）；
      ∵∠BAF=∠BEF=60°，
      ∴A、F、B、E四点共圆，
      ∴∠AEF=∠ABF（即∠GBF）；
      又∵AF=GF，∠EAF=∠FGB=180°-60°=120°，
      在△EAF与△BGF中，
      ∵
      {
      ∠AEF=∠GBF
      AF=GF
      ∠EAF=∠FGB
      ，
      ∴△EAF≌△BGF，
      ∴AE=BG，故AF+AE=AB=BC．

      （2）在AB上截取AG=AF，连接FG，则△AFG是等腰直角三角形，连接FB（如图2）；
      同（1）可证得△EAF∽△BGF，
      得：BG：AE=FG：AF=
      √2
      ，即BG=
      √2
      AE；
      ∴BC=AB=AG+BG=AF+
      √2
      AE．

      （3）在AB上截取AG=AF，连接FG，则△AFG是等腰三角形，且∠AFG=∠AGF=30°，连接FB（如图3）；
      同（1）（2）可证得：BC=AF+
      √3
      AE，即AE=
      √3
      ；
      在等腰△AFG中，AF=AG=1，∠FAG=120°，易求得FG=
      √3
      ；
      ∵∠EAM=∠FGA=30°，∠AME=∠FMG，AE=FG=
      √3
      ，
      ∴△AME≌△GMF，得AM=MG=
      1
      2
      ，ME=MF；
      同（1）（2）可知：A、F、B、E四点共圆，由相交弦定理得：
      ME?MF=AM?BM，即ME      2=AM?BM=
      1
      2
      ×（4-
      1
      2
      ）=
      7
      4
      ，解得ME=
      √7
      2
      ．
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