已知如图，等腰△ABC内接于⊙O，∠B=∠ACB=30°，弦AD交BC于E，AE=2，ED=4，则⊙O的半径为．试题及答案-解答题-云返教育

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已知如图，等腰△ABC内接于⊙O，∠B=∠ACB=30°，弦AD交BC于E，AE=2，ED=4，则⊙O的半径为．

试题解答

见解析

连接OA，OC，AO交BC于点F，则OA=OC，∠B=∠C，
∴AB=AC，
由圆周角定理知，∠O=2∠D=60°，
所以等腰△OAC是等边三角形，
有AB=AC=OA，
∵∠B=∠C，
∴AE⊥BC
∵AB=AC，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△ACE，
∴BE=CE，∠AEB=∠AEC，
∵∠AEB+∠AEC=180°，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴BF²=AB²-AF²，AF²+EF²=AE²，
由相交弦定理知，BE?CE=AE?ED=8，
而BE?CE=（BF+EF）（BF-EF）=BF²-EF²=AB²-AF²-EF²=AB²-AE²=AB²-4=8，
∴AB²=12，
∴半径等于2

．

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