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  • （2009?河西区模拟）如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点：（1）求推力对小球所做的功．（2）x取何值时，完成上述运动所做的功最少？最小功为多少．（3）x取何值时，完成上述运动用力最小？最小力为多少．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2009?河西区模拟）如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点：
      （1）求推力对小球所做的功．
      （2）x取何值时，完成上述运动所做的功最少？最小功为多少．
      （3）x取何值时，完成上述运动用力最小？最小力为多少．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意，质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为vC，质点从C点运动到A点所用的时间为t，则
      在水平方向：x=v      Ct ①
      竖直方向上：2R=
      1
      2
      gt2 ②
      解①②有 v      C=
      x
      2
      √
      g
      R
      ③
      对质点从A到C，由动能定理有
      W      F-mg?2R=
      1
      2
      mv
      2
      C
       ④
      解得 W      F=
      mg(16R2+x2)
      8R
      ⑤
      （2）要使F力做功最少，确定x的取值，由④式得 W      F=mg?2R+
      1
      2
      mv
      2
      C
      ，则知，只要质点在C点速度最小，则功WF就最小．
      若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，
      由牛顿第二定律有
      mg=
      mυ2
      R
      ，则 v=
      √Rg
      ⑥
      由③⑥有
      x
      2
      √
      g
      R
      =
      √Rg
      ，解得x=2R时，WF最小，最小的功WF=mg?2R+
      1
      2
      mv
      2
      C
      =
      5
      2
      mgR．
      （3）由⑤式W      F=mg（
      16R2+x2
      8R
      ），W=Fx
      则得 F=
      1
      8
      mg（
      16R
      x
      +
      x
      R
      ）
      因
      16R
      x
      ＞0，x＞0，
      由极值不等式有
      当
      16R
      x
      =
      x
      R
      时，即x=4R时，
      16R
      x
      +
      x
      R
      =8，最小的力F=mg．
      答：（1）推力对小球所做的功是
      mg(16R2+x2)
      8R
      ．
      （2）x等于2R时，完成上述运动所做的功最少，最小功为
      5
      2
      mgR．
      （3）x取4R时，完成上述运动用力最小，最小力为mg．
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      必修2鲁科版解答题高中物理

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