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  • 已知f（x）是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间（2k-1，2k+1]．已知当x∈I0，f（x）=sin2x（1）求f（x）在Ik上的解析表达式；（2）当x∈[2，2+π4]时，令g（x）=f（x）+（2a-1）√f(x)+a2+14，求g（x）的最大值与最小值（用a表示）并写出对应的x值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间（2k-1，2k+1]．已知当x∈I0，f（x）=sin2x
      （1）求f（x）在I      k上的解析表达式；
      （2）当x∈[2，2+
      π
      4
      ]时，令g（x）=f（x）+（2a-1）
      √f(x)
      +a2+
      1
      4
      ，求g（x）的最大值与最小值（用a表示）并写出对应的x值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）任取x∈（2k-1，2k+1]，∵T=2
      ∴f（x-2k）=f（x），
      而x-2k∈（-1，1]．
      ∴f（x）=f（x-2k）=sin      2（x-2k）．
      （2）x∈[2，2+
      π
      4
      ]时，
      g（x）=f（x）+（2a-1）
      √f(x)
      +a2+
      1
      4
      ，
      =sin      2（x-2）+（2a-1）sin（x-2）+a2+
      1
      4
      ，
      令t=sin（x-2），则t∈[0，
      √2
      2
      ]
      设h（t）=t      2+（2a-1）t+a2+
      1
      4

      ①当
      √2
      2
      ≤
      1
      2
      -a，即a≤
      1-
      √2
      2
      时，
      h（t）在[0，
      √2
      2
      ]上单调递减；
      h（t）      min=h（
      √2
      2
      ）=a2+
      √2
      a+
      3-2
      √2
      4
      ，此时x=2+
      π
      4
      ；
      h（t）      max=h（0）=a2+
      1
      4
      ，此时x=2．
      ②当0＜
      1
      2
      -a＜
      √2
      2
      ，即
      1-
      √2
      2
      ＜a＜
      1
      2
      时，
      h（t）      min=h（
      1
      2
      -a）=a，此时x=2+αrcsin（
      1
      2
      -a）；
      若0＜
      1
      2
      -a≤
      √2
      4
      即
      2-
      √2
      4
      ≤a＜
      1
      2
      时，
      h（t）      max=h（
      √2
      2
      ）=a2+
      √2
      a+
      3-2
      √2
      4
      ，此时x=2+
      π
      4
      ；
      若
      √2
      4
      ＜
      1
      2
      -a＜
      √2
      2
      即
      1-
      √2
      2
      ＜a＜
      2-
      √2
      4
      时，
      h（t）      max=h（0）=a2+
      1
      4
      ，此时x=2．
      ③当
      1
      2
      -a≤0，即a≥0时，
      h（t）在[0，
      √2
      2
      ]上单调递增；
      h（t）      min=h（0）=a2+
      1
      4
      ，此时x=2；
      h（t）      max=h（
      √2
      2
      ）=a2+
      √2
      a+
      3-2
      √2
      4
      ，此时x=2+
      π
      4
      ；
      综上所述，
      g（x）      min=
      {
      a2+
      1
      4
      ，a≤
      2-
      √2
      4
      ，此时x=2
      a2+
      √2
      a+
      3-2
      √2
      4
      ，a＞
      2-
      √2
      4
      ，此时x=2+
      π
      4


      g（x）      max=
      {
      a2+
      1
      4
      ，(a≥
      1
      2
      )，此时x=2
      a，(
      1-
      √2
      2
      ＜a＜
      1
      2
      )，此时x=αrcsin(
      1
      2
      -a)+2
      a2+
      √2
      a+
      3-2
      √2
      4
      ，(a≤
      1-
      √2
      2
      )，此时x=2+
      π
      4
      ．
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