已知函数f（x）=log2（x+1），当点（x，y）是y=f（x）的图象上的点时，点(x3，y2)是y=g（x）的图象上的点．（I）写出y=g（x）的表达式；（II）当g（x）-f（x）≥0时，求x的取值范围；（Ⅲ）当x在（Ⅱ）所给范围取值时，求g（x）-f（x）的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数f（x）=log₂（x+1），当点（x，y）是y=f（x）的图象上的点时，点(

，

)是y=g（x）的图象上的点．
（I）写出y=g（x）的表达式；
（II）当g（x）-f（x）≥0时，求x的取值范围；
（Ⅲ）当x在（Ⅱ）所给范围取值时，求g（x）-f（x）的最大值．

见解析

解：（I）令

=m，

=n，则x=3m，y=2n，由点（x，y）在y=log₂（x+1）的图象上可得2n=log₂（3m+1），故n=

log₂(3m+1)，
又（m，n）是函数y=g（x）的图象上的点，故g(x)=

log₂(3x+1)(x＞-

)．
（II）因为g（x）-f（x）≥0，所以

log₂(3x+1)≥log₂(x+1)．
由对数函数的性质可得

{	3x+1＞0 x+1＞0 3x+1≥(x+1)²

，解得0≤x≤1．
（Ⅲ）因为0≤x≤1，
所以g(x)-f(x)=

log₂

3x+1

(x+1)²

log₂

(3x+1)+

3x+1

≤

log₂

．
当且仅当3x+1=2时，即x=

时等号成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为

log₂

．

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