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已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数,(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断并证明函数f(x)的单调性;(3)若对于任意的t∈R,不等式f(mt2-2t)+f(1-t2)<0恒成立,求m的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知定义域为R的函数f(x)=
-2
x
+b
2
x+1
+a
是奇函数,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断并证明函数f(x)的单调性;
(3)若对于任意的t∈R,不等式f(mt
2
-2t)+f(1-t
2
)<0恒成立,求m的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,且f(-1)=-f(1);
即
-1+b
2+a
=0,且
-
1
2
+b
1+a
=-
-2+b
4+a
;
解得a=2,b=1;
∴f(x)的解析式为f(x)=
-2
x
+1
2
x+1
+2
;
(2)∵f(x)=
-2
x
+1
2
x+1
+2
,
∴f(x)=-
2
x
-1
2(2
x
+1)
=
1
2
x
+1
-
1
2
是R上的减函数;
证明如下:在R上任取x
1
<x
2
,则f(x
1
)-f(x
2
)=(
1
2
x
1
+1
-
1
2
)-(
1
2
x
2
+1
-
1
2
)=
2
x
2
-2
x
1
(2
x
1
+1)(2
x
2
+1)
;
∵x
1
<x
2
,∴2
x
2
-2
x
1
>0,2
x
1
+1>0,2
x
2
+1>0,
∴
2
x
2
-2
x
1
(2
x
1
+1)(2
x
2
+1)
>0;即f(x
1
)>f(x
2
);
∴f(x)R上的减函数;
(3)∵f(mt
2
-2t)+f(1-t
2
)<0恒成立,∴f(mt
2
-2t)<-f(1-t
2
);
∵f(x)是奇函数,∴-f(1-t
2
)=f(t
2
-1),∴f(mt
2
-2t)<f(t
2
-1);
∴f(mt
2
-2t)<f(t
2
-1),
又∵f(x)是减函数,∴mt
2
-2t>t
2
-1,
即(m-1)t
2
-2t+1>0恒成立,
∴
{
m-1>0
4-4(m-1)<0
,解得m>2;
∴m的取值范围是{m|m>2}???
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