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给出函数封闭的定义:若对于定义域D内的任一个自变量x0,都有函数值f(x0)∈D,则称函数y=f(x)在D上封闭.(1)若定义域D1=(0,1),判断下列函数中哪些在D1上封闭,且给出推理过程f1(x)=2x-1,f2(x)=-12x2-12x+1,f3(x)=2x-1,f4(x)=cosx.;(2)若定义域D2=(1,2),是否存在???数a使函数f(x)=5x-ax+2在D2上封闭,若存在,求出a的值,并给出证明,若不存在,说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
给出函数封闭的定义:若对于定义域D内的任一个自变量x
0
,都有函数值f(x
0
)∈D,则称函数y=f(x)在D上封闭.
(1)若定义域D
1
=(0,1),判断下列函数中哪些在D
1
上封闭,且给出推理过程f
1
(x)=2x-1,f
2
(x)=-
1
2
x
2
-
1
2
x+1,f
3
(x)=2
x
-1,f
4
(x)=cosx.;
(2)若定义域D
2
=(1,2),是否存在???数a使函数f(x)=
5x-a
x+2
在D
2
上封闭,若存在,求出a的值,并给出证明,若不存在,说明理由.
试题解答
见解析
解:(1)∵f
1
(
1
2
)=0?(0,1),
∴f(x)在D
1
上不封闭;
∵f
2
(x)=-(x+
1
2
)
2
+
9
8
在(0,1)上是减函数,
∴0<f
2
(1)<f
2
(x)<f
2
(0)=1,
∴f
2
(x)∈(0,1)?f
2
(x)在D
1
上封闭;
∵f
3
(x)=2
x
-1在(0,1)上是增函数,∴0=f
3
(0)<f
3
(x)<f
3
(1)=1,
∴f
3
(x)∈(0,1)?f
3
(x)在D
1
上封闭;
∵f
4
(x)=cosx在(0,1)上是减函数,∴cos1=f
4
(1)<f
4
(x)<f
4
(0)=1,
∴f
4
(x)∈(cos1,1)?(0,1)?f
4
(x)在D
1
上封闭;
(2)f(x)=5-
a+10
x+2
,假设f(x)在D
2
上封闭,对a+10讨论如下:
若a+10>0,则f(x)在(1,2)上为增函数,故应有
{
f(1)≥1
f(2)≤2
?
{
a≤2
a≥2
?a=2
若a+10=0,则f(x)=5,此与f(x)∈(1,2)不合,
若a+10<0,则f(x)在(1,2)上为减函数,故应有
{
f(1)≤2
f(2)≥1
?
{
a≥-1
a≤-6
,无解,
综上可得,a=2时f(x)在D
2
上封闭.
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单选题
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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