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  • 设函数f(x)=1+x21-x2．①求它的定义域；②求证：f(1x)=-f(x)；③判断它在（1，+∞）单调性，并证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f(x)=
      1+x2
      1-x2
      ．
      ①求它的定义域；
      ②求证：f(
      1
      x
      )=-f(x)；
      ③判断它在（1，+∞）单调性，并证明．

      试题解答

      见解析
      解：①由于函数f(x)=
      1+x2
      1-x2
      ，故有1-x2≠0，x≠±1，故函数的定义域为{x|x≠±1}．
      ②证明：∵f(x)=
      1+x2
      1-x2
      ，∴f(
      1
      x
      )=
      1+(
      1
      x
      )2
      1-(
      1
      x
      )2
      =
      x2+1
      x2-1
      =-f（x）．
      ③函数f(x)=
      1+x2
      1-x2
      在（1，+∞）上是增函数．
      证明：设1＜x      1＜x2＜+∞，
      则可得 f（x      1）-f（x2）=
      1+x12
      1-x12
      -
      1+x22
      1-x22
      =
      2(x12-x22)
      (1-x12)(1-x22)
      ．
      再由1＜x      1＜x2＜+∞，可得 x12 -x22＜0，1 -x12＜0，1 -x22＜0，
      ∴
      2(x12-x22)
      (1-x12)(1-x22)
      ＜0，即f（x1）＜f（x2）．
      故函数f(x)=
      1+x2
      1-x2
      在（1，+∞）上是增函数．
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