设f(x)=2x+a2x-1（a为实常数）．（1）当a＜0时，用函数的单调性定义证明：y=f（x）在R上是增函数；（2）当a=0时，若函数y=g（x）的图象与 y=f（x）的图象关于直线x=0对称，求函数y=g（x）的解析式；（3）当a＜0时，求关于x的方程f（x）=0在实数集R上的解．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设f(x)=2^x+

2^x

-1（a为实常数）．
（1）当a＜0时，用函数的单调性定义证明：y=f（x）在R上是增函数；
（2）当a=0时，若函数y=g（x）的图象与 y=f（x）的图象关于直线x=0对称，求函数y=g（x）的解析式；
（3）当a＜0时，求关于x的方程f（x）=0在实数集R上的解．

试题解答

见解析

解：（1）设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（2^x₁+

2^x₁

-1）-（2^x₂+

2^x₂

-1）
=2^x₁-2^x₂+

2^x₁

2^x₂

=2^x₁-2^x₂+

a(2^x₂-2^x₁)

2^x₁2^x₂

(2^x₁-2^x₂)(1-a)

2^x₁2^x₂

，
∵x₁＜x₂，∴2^x₁-2^x₂＜0，2^x₁2^x₂＞0，
∵a＜0，∴1-a＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
∴y=f（x）在R上是增函数；
（2）a=0时，f（x）=2^x-1，设y=g（x）的图象任一点为P（x，y），
则P（x，y）关于直线x=0对称点（-x，y）在y=f（x）的图象，
∴y=2^-x-1=

2^x

-1，即g（x）=

2^x

-1；
（3）由2^x+

2^x

-1=0得，2^2x-2^x+a=0，
设t=2^x，则t＞0，且方程变为t²-t+a=0，
∵a＜0，∴△=1-4a＞1，
∴方程的根为t₁=

√1-4a

＜0，t₂=

√1-4a

＞0，
∴方程的根为：t=

√1-4a

=2^x，
∴x=log

^1+√1-4a
2

₂

，
即方程f（x）=0在实数集R上的解是log

^1+√1-4a
2

₂

．

标签

必修1 人教A版单选题高中数学

试题详情

试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题