已知函数f(x)=a?2x-2+a2x+1（a∈R）．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，①求函数f（x）的值域；②求满足f（ax）＜f（2a-x2）的x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

a?2^x-2+a

2^x+1

（a∈R）．
（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若f（x）为定义域上的奇函数，
①求函数f（x）的值域；
②求满足f（ax）＜f（2a-x²）的x的取值范围．

试题解答

见解析

（本小题满分16分）
解：（1）函数f（x）为定义域（-∞，+∞），
且f(x)=a-

2^x+1

，
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂
则f(x₂)-f(x₁)=a-

2^x₂+1

-a+

2^x₁+1

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₂+1)(2^x₁+1)

…（3分）
∵y=2^x在R上单调递增，且x₁＜x₂
∴0＜2^x₁＜2^x₂，2^x₂-2^x₁＞0，2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上的单调增函数．…（5分）
（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即a-

2^-x+1

+(a-

2^x+1

)=0对任意实数x恒成立，
化简得2a-(

2?2^x

2^x+1

)=0，
∴2a-2=0，即a=1，…（8分）
（注：直接由f（0）=0得a=1而不检验扣2分）
①由a=1得f(x)=1-

2^x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

2^x+1

＜1，…（10分）
∴-2＜-

2^x+1

＜0，∴-1＜1-

2^x+1

＜1
故函数f（x）的值域为（-1，1）．…（12分）
②由a=1，得f（x）＜f（2-x²），
∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，∴x＜2-x²，…（14分）
解得-2＜x＜1，
故x的取值范围为（-2，1）．…（16分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f(x)=a?2x-2+a2x+1（a∈R）．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，①求函数f（x）的值域；②求满足f（ax）＜f（2a-x2）的x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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