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已知a为实数，f(x)=a-22x+1(x∈R)．（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（2）当f（x）是奇函数时，若方程f-1（x）=log2（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知a为实数，f(x)=a-

2^x+1

(x∈R)．
（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当f（x）是奇函数时，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围．

见解析

解：（1）设x₁＞x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-

2^x₁+1

2^x₂+1

∴x₁＞x₂，
∴2^x₁＞2^x₂
∴

2^x₁+1

＜

2^x₂+1

∴f（x₁）-f（x₂）=-

2^x₁+1

2^x₂+1

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在定义域上为增函数．
（2）因为f（x）是R上的奇函数，所以f(0)=a-

2⁰+1

=0，
即a=1．f^-1(x)=log₂

1+x

1-x

(-1＜x＜1)
由log₂

1+x

1-x

=log₂(x+t)得t=(1-x)+

1-x

-2≥2

√2

-2
当且仅当1-x=

1-x

，即x=1-

√2

时等号成立，
所以，t的取值范围是[2

√2

-2，+∞)．

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