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  • 已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx．（Ⅰ）当a=-2时，判断函数f（x）零点的个数；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx．
      （Ⅰ）当a=-2时，判断函数f（x）零点的个数；
      （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

      试题解答

      见解析
      （本小题满分12分）
      解：（Ⅰ）函数的定义域：（0，+∞），
      当a=-2时，f′（x）=
      1-4x2
      2
      ，
      当x∈（0，
      1
      2
      ）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
      当x∈（
      1
      2
      ，+∞）时，f′（x）＜0，函数是减函数．
      因为f（
      1
      2
      ）=-
      1
      2
      -ln2＜0，所以此时在定义域上f（x）＜0，
      s所以函数f（x）零点的个数为0．；
      （Ⅱ）f′（x）=2ax-（a+2）+
      1
      x
      =
      (ax-1)(2x-1)
      x
      ，
      ①当a≤0时，当x∈（0，
      1
      2
      ）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
      当x∈（
      1
      2
      ，+∞）时，f′（x）＜0，函数是减函数．
      ②当0＜a＜2时，
      当x∈（0，
      1
      2
      ）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
      当x∈（
      1
      2
      ，
      1
      a
      ）时，f′（x）＜0，函数是减函数；
      当x∈（
      1
      a
      ，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数．
      ③当a=2时，f′（x）=
      (2x-1)2
      x
      ≥0，对一切x∈（0，+∞）恒成立，当且仅当x=1时f′（x）=0，函数是单调增函数，单调增区间（0，+∞）
      ④当a＞2时，
      当x∈（0，
      1
      a
      ）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
      当x∈（
      1
      a
      ，
      1
      2
      ）时，f′（x）＜0，函数是减函数；
      当x∈（
      1
      2
      ，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数．
      综上：当a≤0时，函数f（x）的单调增区间（0，
      1
      2
      ），单调减区间是（
      1
      2
      ，+∞）．
      当0＜a＜2时，函数f（x）的单调增区间（0，
      1
      2
      ）和（
      1
      a
      ，+∞），单调减区间是（
      1
      2
      ，
      1
      a
      ）．
      当a=2时，函数的单调增区间（0，+∞）
      当a＞2时，函数f（x）的单调增区间（0，
      1
      a
      ???和（
      1
      2
      ，+∞），单调减区间是（
      1
      a
      ，
      1
      2
      ）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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