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年级：: 全部; 初一; 初二; 初三

年级：: 全部; 高一; 高二; 高三

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已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有2f（x）+f（-x）+2x=0成立，（1）试求f（x）的解析式；（2）试讨论f（x）在R上的单调性，并用定义予以证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有2f（x）+f（-x）+2^x=0成立，
（1）试求f（x）的解析式；
（2）试讨论f（x）在R上的单调性，并用定义予以证明．

试题解答

见解析

解：（1）由2f（x）+f（-x）+2^x=0①，
得2f（-x）+f（x）+2^-x=0②，
联立①②可解得f（x）=

1

3

(2^-x-2^x+1)，
∴f（x）=

1

3

(2^-x-2^x+1)；
（2）f（x）为R上的减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

3

(2^-x₁-2^x₁+1)-

1

3

(2^-x₂-2^x₂+1)
=

1

3

[（

1

2^x₁

-

1

2^x₂

）+2（2^x₂-2^x₁）]
=

1

3

(2^x₂-2^x₁)（

1

2^x₁+x₂

+2），
又x₁0，

1

2^x₁+x₂

+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在定义域R上单调递减．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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