对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，则称函数f（x）与g（x）在[m，n]上是“友好”的，否则称“不友好”的．现在有两个函数f（x）=loga（x-3a）与g(x)=loga1x-a（a＞0，a≠1），给定区???[a+2，a+3]．（1）若f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是否“友好”．试题及答案-单选题-云返教育

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对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，则称函数f（x）与g（x）在[m，n]上是“友好”的，否则称“不友好”的．现在有两个函数f（x）=log_a（x-3a）与g(x)=log_a

x-a

（a＞0，a≠1），给定区???[a+2，a+3]．
（1）若f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是否“友好”．

试题解答

见解析

解：（1）函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上有意义，
必须满足

{	a+2-3a＞0 a+2-a＞0 0＜a，a≠1

?0＜a＜1
（2）假设存在实数a，使得函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的，
则|f（x）-g（x）|=|log_a（x²-4ax+3a²）|?|log_a（x²-4ax+3a²）|≤1
即-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1（*）
因为a∈（0，1）?2a∈（0，2），而[a+2，a+3]在x=2a的右侧，
所以函数g（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在区间[a+2，a+3]上为减函数，从而
[g(x)]_max=g(a+2)=log_a(4-4a)[g(x)]_min=g(a+3)=log_a(9-6a)
于是不等式（*）成立的充要条件是

{	log_a(4-4a)≤1 log_a(9-6a)≥-1 0＜a＜1

?0＜a≤

√57

因此，当0＜a≤

√57

时，函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的；当1＞a＞

√57

时，函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是不“友好”的．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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