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  • 已知向量 a=（1，2），b=（cosα，sinα），设m=a+tb（t为实数）．（1）若α=π4，求当|m|取最小值时实数t的值；（2）若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a-b和向量m的夹角为π4，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）若a⊥m，求实数t的取值范围A，并判断当t∈A时函数f（t）=（t，-3）?（t2，t）的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知向量
      a
      =（1，2），
      b
      =（cosα，sinα），设
      m
      =
      a
      +t
      b
      （t为实数）．
      （1）若α=
      π
      4
      ，求当|
      m
      |取最小值时实数t的值；
      （2）若
      a
      ⊥
      b
      ，问：是否存在实数t，使得向量
      a
      -
      b
      和向量
      m
      的夹角为
      π
      4
      ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
      （3）若
      a
      ⊥
      m
      ，求实数t的取值范围A，并判断当t∈A时函数f（t）=（t，-3）?（t2，t）的单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（1）因为a=
      π
      4
      ，所以
      b
      =（
      √2
      2
      ，
      √2
      2
      ），
      a
      ?
      b
      =
      2
      √3
      3
      ，
      则 |
      m|
      =
      √(
      a
      +t
      b
      )2
      =
      √5+t2+2t
      a
      ?
      b
      =
      √t2+3
      √2
      t+5
      =
      √(t+
      3
      √2
      2
      )2+
      1
      2

      所以当 t=-
      3
      √2
      2
      时，|
      m|
      取到最小值，最小值为
      √2
      2
      ．
      （2）由条件得cos45°=
      (
      a
      -
      b
      )(
      a
      +t
      b
      )
      |
      a
      -
      b
      ||
      a
      +t
      b
      |
      ，
      又因为 |
      a
      -
      b
      |=
      √(
      a
      -
      b
      )2
      =
      √6
      ，|
      a
      +t
      b
      |=
      √(
      a
      +t
      b
      )2
      =
      √5+t2
      ，
      （
      a
      -
      b
      ）（
      a
      +t
      b
      ）=5-t，则有
      5-t
      √6
      √5+t2
      =
      √2
      2
      ，且t＜5，
      整理得t      2+5t-5=0，所以存在t=
      -5±3
      √5
      2
      满足条件．
      （3）由题意可得：
      m
      =（1+tcosα，2+tsinα），
      因为
      a
      ⊥
      m
      ，
      所以5+t（cosα+2sinα）=0，即5+
      √5
      tsin（α+φ???=0
      ∵|sin（α+φ）|≤1
      ∴|t|≥
      √5
      ，
      ∴t≥
      √5
      或t≤-
      √5
      ，
      又f（t）=（t，-3）?（t      2，t），
      ∴f（t）=t      3-3t
      所以f′（t）=3t      2-3，
      因为t≥
      √5
      或t≤-
      √5
      ，
      所以f′（t）=3t      2-3＞0，
      所以函数f（t）在[
      √5
      ，+∞)，(-∞，-
      √5
      ]上是增函数．
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