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已知函数f（x）=4x+14x-1．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；（Ⅱ）用定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=

4^x+1

4^x-1

．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）用定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）根据已知得f(x)=1+

2

4^x-1

，即4^x-1≠0，
即4^x≠1，解得x≠0，
∴函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
设y=f（x），则y-1=

2

4^x-1

，4^x=1+

2

y-1

，
因为4^x＞0，解得1+

2

y-1

＞0，
解得函数的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
（Ⅱ）设任意x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2

4^x₁-1

-

2

4^x₂-1

=

2(4^x₂-4^x₁)

(4^x₁-1)(4^x₂-1)

，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），
∴4^x₁-1＞0，4^x₂-1＞0，
又∵x₁＜x₂，4^x₂-4^x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x_2）＞0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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