设a为实数，函数f（x）=2x2+（x-a）|x-a|．（1）当a=1时，判断函数f（x）在（1，+∞）的单调性并用定义证明；（2）求f（x）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）当a=1时，判断函数f（x）在（1，+∞）的单调性并用定义证明；
（2）求f（x）的最小值．

试题解答

见解析

（1）当a=1，x＞1时，f（x）=2x²+（x-1）|x-1|=2x²+（x-1）²=3x²-2x+1，…（1分）
则函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
证明：设1＜x₁＜x₂，由于f（x₁）-f（x₂）=

=（x₁-x₂）[3（x₁+x₂）-2]，…（4分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，∵1＜x₁＜x₂，∴x₁+x₂＞2，从而得3（x₁+x₂）-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．…（6分）
（2）∵当x≥a时，f（x）=3x²-2ax+a²，…（7分）
故