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  • 已知函数f（x）=x+1，设g1（x）=f（x），gn（x）=f（gn-1（x））（n＞1，n∈N*）（1）求g2（x），g3（x）的表达式，并猜想gn（x）（n∈N*）的表达式（直接写出猜想结果）（2）若关于x的函数y=x2+nΣi=1gi(x)(n∈N*)在区间（-∞，-1]上的最小值为6，求n的值．（符号“nΣi=1”表示求和，例如：nΣi=1i=1+2+3+…+n．）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x+1，设g1（x）=f（x），gn（x）=f（gn-1（x））（n＞1，n∈N*）
      （1）求g      2（x），g3（x）的表达式，并猜想gn（x）（n∈N*）的表达式（直接写出猜想结果）
      （2）若关于x的函数y=x      2+nΣi=1gi(x)(n∈N*)在区间（-∞，-1]上的最小值为6，求n的值．
      （符号“      nΣi=1”表示求和，例如：nΣi=1i=1+2+3+…+n．）

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵g1（x）=f（x）=x+1，
      ∴g      2（x）=f（g1（x））=f（x+1）=（x+1）+1=x+2，
      g      3（x）=f（g2（x））=f（x+2）=（x+2）+1=x+3，
      ∴猜想g      n（x）=x+n
      （2）∵g      n（x）=x+n，
      ∴      nΣi=1gi(x)=g1(x)+g2(x)+…+gn(x)=nx+
      n(n+1)
      2

      ∴y=x      2+nΣi=1gi(x)=x2+nx+
      n(n+1)
      2
      =(x+
      n
      2
      )2+
      n2+2n
      4

      1°当-
      n
      2
      ≥-1，即n≤2时，函数y=(x+
      n
      2
      )2+
      n2+2n
      4
      在区间（-∞，-1]上是减函数∴当x=-1时，ymin=
      n2-n+2
      2
      =6，即n2-n-10=0，该方程没有整数解
      2°当-
      n
      2
      ＜-1，即n＞2时，ymin=
      n2+2n
      4
      =6，解得n=4，
      综上所述，n=4
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