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已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,有f(x)=ax+lnx(其中e为自然对数的底,a∈R).(1)求函数f(x)的解析式;(2)设g(x)=ln|x||x|,x∈[-e,0)∪(0,e],求证:当a=-1时,|f(x)|>g(x)+12;(3)试问:是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是3?如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,有f(x)=ax+lnx(其中e为自然对数的底,a∈R).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设g(x)=
ln|x|
|x|
,x∈[-e,0)∪(0,e],求证:当a=-1时,|f(x)|>g(x)+
1
2
;
(3)试问:是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是3?如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由.
试题解答
见解析
(1)解:当x∈[-e,0)时,-x∈(0,e],则f(-x)=a(-x)+ln(-x),
又f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x),
因此,f(x)=
{
ax-ln(-x),-e≤x<0
ax+lnx,0<x≤e
;
(2)证明:a=-1,f(x)=
{
-x-ln(-x),-e≤x<0
-x+lnx,0<x≤e
,
∴|f(x)|=|x|-ln|x|为偶函数,故只要考虑x∈(0,e]时,f(x)=x-lnx>0,
而此时,g(x)=
ln|x|
|x|
=
lnx
x
,x∈(0,e]
f′(x)=1-
1
x
≥0可得,x≥1,f′(x)<0可得,x<1,
∴函数f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,e]单调递增,则f(x)
min
=f(1)=1,
∴g′(x)=
1-lnx
x
2
≥0在(0,e]上恒成立,则可得函数g(x)在(0,e]单调递增,则g(x)max=g(e)=
1
e
,
而1>
1
e
+
1
2
即f(x)min>g(x)max+
1
2
,
x∈[-e,0)同理可证,
∴|f(x)|>g(x)+
1
2
;
(3)假设存在a满足条件,
由(1)可得,x∈[-e,0)f(x)=ax-ln(-x),
f′(x)=a-
1
x
,令f′(x)>0可得x>
1
a
,f′(x)<0可得x<
1
a
,
若-
1
e
<a<0,则函数在[
1
a
,0)单调递增,在[-e,
1
a
]单调递减,则f(x) min=f(
1
a
)=3,
∴a=-
1
e
2
;
若a≤-
1
e
,则函数在[-e,0)单调递???,则f(x)min=f(-
1
e
)=
a
e
+1=3,
a=2e(舍)
故a=-
1
e
2
.
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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