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设函数f(x)=x+px(p>0).(1)若P=4,判断f(x)在区间(0,2)的单调性,并加以证明;(2)若f(x)在区间(0,2)上为单调减函数,求实数P的取值范围;(3)若p=8,方程f(x)=3a-264在x∈(0,2)内有实数根,求实数a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)=x+
p
x
(p>0).
(1)若P=4,判断f(x)在区间(0,2)的单调性,并加以证明;
(2)若f(x)在区间(0,2)上为单调减函数,求实数P的取值范围;
(3)若p=8,方程f(x)=3a-264在x∈(0,2)内有实数根,求实数a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)由p=4知,f(x)=x+
4
x
,f(x)在(0 2)内是减函数.
证明:任意设 0<x
1
<x
2
<2,
由于f(x
1
)-f(x
2
)=(x
1
+
4
x
1
)-(x
2
+
4
x
2
)=-(x
2
-x
1
)+
4(x
2
-x
1
)
x
1
?x
2
=(x
2
-x
1
)(
4
x
1
?x
2
-1)=(x
2
-x
1
)?
4-x
1
?x
2
x
1
?x
2
.
由题设可得 (x
2
-x
1
)>0,0<x
1
?x
2
<4,∴
4-x
1
?x
2
x
1
?x
2
>0,
故f(x
1
)-f(x
2
)>0,即 f(x
1
)>f(x
2
),故f(x)在(0 2)内是减函数.
(2)若f(x)在区间(0,2)上为单调减函数,任意设 0<x
1
<x
2
<2,
则可得f(x
1
)-f(x
2
)=(x
2
-x
1
)?
p-x
1
?x
2
x
1
?x
2
>0.
由题设可得 (x
2
-x
1
)>0,0<x
1
?x
2
<4,∴p≥4.
(3)由p=8,可得f(x)=x+
8
x
,
由(2)可知f(x)在(0,2)上单调递减,∴f(x)>f(2)=2+
8
2
=6,即 f(x)>6.
故由方程f(x)=3a-264在x∈(0,2)内有实数根,可得3a-264>6,解得a>90,故a的范围为(90,+∞).
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
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第3章 指数函数和对数函数
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正整数指数函数
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