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已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R.(Ⅰ)若a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);(Ⅱ)判断(Ⅰ)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R.
(Ⅰ)若a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);
(Ⅱ)判断(Ⅰ)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.
试题解答
见解析
证明:(Ⅰ)因为a+b≥0,所以a≥-b.
由于函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,
所以f(a)≥f(-b).
同理,f(b)≥f(-a).
两式相加,得f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).…(6分)
(Ⅱ)逆命题:
若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.
用反证法证明
假设a+b<0,那么
{
a+b<0?a<-b?f(a)<f(-b)
a+b<0?b<-a?f(b)<f(-a).
所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).
这与f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾.故只有a+b≥0,逆命题得证.
…(12分)
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