已知定义域为R的函数f（x）=-2x+b2x+1+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性并证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义域为R的函数f（x）=

-2^x+b

2^x+1+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）因为f（x）为R上的奇函数，
所以f（0）=0，即

-1+b

2+a

=0，解得b=1，
由f（-1）=-f（1），得

-2^-1+1

2⁰+a

-2+1

2²+a

，解得a=2，
所以a=2，b=1；
（2）f（x）为R上的奇函数，证明如下：
由（1）知f（x）=

-2^x+1

2^x+1+2

2^x+1

，
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（-

2^x₁+1

）-（-

2^x₂+1

）=

2^x₂-2^x₁

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

，
因为x₁＜x₂，所以2^x₂-2^x₁＞0，2^x₁+1＞0，2^x₁+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）为减函数；
（3）因为f（x）为奇函数，所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化为f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
又由（2）知f（x）为减函数，所以t²-2t＞k-2t²，即3t²-2t＞k恒成立，
而3t²-2t=3(t-

)²-

≥-

，
所以k＜-

．

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已知定义域为R的函数f（x）=-2x+b2x+1+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性并证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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