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  • 函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]?D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）①f（x）=x2（x≥0）；②f（x）=ex（x∈R）；③f（x）=4xx2+1（x≥0）；④f（x）=loga(ax-18)(a＞0，a≠1)．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]?D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（　　）
      ①f（x）=x      2（x≥0）；
      ②f（x）=e      x（x∈R）；
      ③f（x）=
      4x
      x2+1
      （x≥0）；
      ④f（x）=log      a(ax-
      1
      8
      )(a＞0，a≠1)．

      试题解答

      C
      解：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②
      {
      f(a)=2a
      f(b)=2b
      或
      {
      f(a)=2b
      f(b)=2a

      ①f（x）=x      2（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，则
      {
      f(a)=2a
      f(b)=2b
      ，∴
      {
      a2=2a
      b2=2b
      ∴
      {
      a=0
      b=2

      ∴f（x）=x      2（x≥0），若存在“倍值区间”[0，2]；
      ②f（x）=e      x（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，则
      {
      f(a)=2a
      f(b)=2b
      ，∴
      {
      ea=2a
      eb=2b

      构建函数g（x）=e      x-2x，∴g′（x）=ex-2，
      ∴函数在（-∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
      ∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．
      ∵g（ln2）=2-2ln2＞0，∴g（x）＞0恒成立，∴e      x-2x=0无解，故函数不存在“倍值区间”；
      ③f(x)=
      4x
      x2+1
      (x≥0)，f′(x)=
      4(x2+1)-4x×2x
      (x2+1)2
      =
      4(1+x)(1-x)
      (x2+1)2

      若存在“倍值区间”[a，b]?[0，1]，则
      {
      f(a)=2a
      f(b)=2b
      ，∴
      {
      4a
      a2+1
      =2a
      4b
      b2+1
      =2b
      ，∴a=0，b=1，若存在“倍值区间”[0，1]；
      ④f(x)=log      a(ax-
      1
      8
      )(a＞0，a≠1)．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数
      若存在“倍值区间”[m，n]，则
      {
      f(m)=2m
      f(n)=2n
      ，必有
      {
      loga(am-
      1
      8
      )=2m
      loga(an-
      1
      8
      )=2n
      ，
      必有m，n是方程log      a(ax-
      1
      8
      )=2x的两个根，
      必有m，n是方程      a2x-ax+
      1
      8
      =0的两个根，
      由于      a2x-ax+
      1
      8
      =0存在两个不等式的根，故存在“倍值区间”[m，n]；
      综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④
      故选C．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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