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  • 对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：①函数y=f（x）在定义域D内是单调递增或单调递减函数；②存在区间[a，b]?3D，使函数f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）是D上的闭函数．（1）求闭函数f（x）=-x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数g（x）=34x+1x，在区间（0，+∞）上是否为闭函数；（3）若函数φ（x）=k+√x+2是闭函数，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：
      ①函数y=f（x）在定义域D内是单调递增或单调递减函数；
      ②存在区间[a，b]?3D，使函数f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）是D上的闭函数．
      （1）求闭函数f（x）=-x      3符合条件②的区间[a，b]；
      （2）判断函数g（x）=
      3
      4
      x+
      1
      x
      ，在区间（0，+∞）上是否为闭函数；
      （3）若函数φ（x）=k+
      √x+2
      是闭函数，求实数k的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵y=-x3是[a，b]上的减函数，
      ∴
      {
      f(a)=-a3=b
      f(b)=-b3=a.

      ∴
      b
      a
      =
      -a3
      -b3
      =(
      a
      b
      )3．
      ∴（
      a
      b
      )4=1，∴
      a
      b
      =±1
      又∵-a      3=b，∴
      {
      a=-1
      b=1
      ．
      ∴所求区间为[-1，1]．
      （2）∵g′（x）=
      3
      4
      -
      1
      x2
      ，x∈（0，+∞），
      令g′（x）=
      3
      4
      -
      1
      x2
      ＞0，得x＞
      2
      √3
      3
      ，
      ∴x＞
      2
      √3
      3
      时，g（x）为（
      2
      √3
      3
      ，+∞）上的增函数．
      令g′（x）=
      3
      4
      -
      1
      x2
      ＜0，得0＜x＜
      2
      √3
      3

      ∴g（x）为（0，
      2
      √3
      3
      ）上的减函数．
      ∴g（x）不是（0，+∞）上的单调函数．
      ∴g（x）不是（0，+∞）上的闭函数．
      （3）易知φ（x）是[-2，+∞]上的增函数．
      设φ（x）=k+
      √x+2
      满足条件②的区间是[a，b]，
      ∴
      {
      ?(a)=k+
      √a+2
      =a
      ?(b)=k+
      √b+2
      =b.

      即a，b是方程x=k+
      √x+2
      的两个不等实根．
      也就是方程组
      {
      x2-(2k+1)x+(k2-2)=0
      x≥-2
      x≥k
      有两个不等实根a，b．
      ①当k≤-2时，方程x      2-（2k+1）+（k2-2）=0在[-2，+∞）上有两个不等实根．
      ∴
      {
      2k+1
      2
      ＞-2
      △=(2k+1)2-4(k2-2)＞0
      (-2)2-(2k+1)(-2)+(k2-2)≥0.

      解得：-
      9
      4
      ＜k≤-2．
      ②当k＞-2时，方程x      2-（2k+1）x+（k2-2）=0在[k，+∞）上有两个不等实根．
      ∴
      {
      2k+1
      2
      ＞k
      △=(2k+1)2-4(k2-2)＞0
      k2-(2k+1)k+(k2-2)≥0.

      解得：-
      9
      4
      ＜k≤-2，与条件k＞-2矛盾．
      ∴φ（x）=k+
      √x+2
      是闭函数，实数k的取值范围是-
      9
      4
      ＜k≤-2．
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