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  • 对于任意的实数a、b，记max{a，b}={a(a≥b)b(a＜b)．设F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中g（x）=13x，y=f（x）是奇函数．当x≥0时，y=f（x）的图象与g（x）的图象如图所示．则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      对于任意的实数a、b，记max{a，b}=
      {
      a(a≥b)
      b(a＜b)
      ．设F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中g（x）=
      1
      3
      x，y=f（x）是奇函数．当x≥0时，y=f（x）的图象与g（x）的图象如图所示．则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（　　）

      试题解答

      A
      解：当x＞0时，由图象可知：函数y=f（x）是二次函数的一部分，并且知道顶点为（1，-2），不妨取a=1，可得f（x）=（x-1）2-2；
      ∵函数f（x）是R上的奇函数，∴当x＜0时，-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-（x+1）      2+2；易知f（0）=0；
      ∴f(x)=
      {
      (x-1)2-2 ，当x＞0时
      0， 当x=0时
      -(x+1)2+2， 当x＜0时

      分别画出y=f（x）及y=g（x）的图象，
      ①当x＞0时，由(x-1)      2-2=
      1
      3
      x，解得x=
      7+
      √85
      6
      ；
      ②当x＜0时，由-(x+1)      2+2=
      1
      3
      x，解得x=
      -7-
      √85
      6
      ；
      由F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），可得函数F（x）的图象及表达式
      F（x）=
      {
      (x-1)2-2 ，当x＞
      7+
      √85
      6
      时
      1
      3
      x ，当0≤x≤
      7+
      √85
      6
      或x≤
      -7-
      √85
      6
      时
      -(x+1)2+2 ，当
      -7-
      √85
      6
      ＜x＜0时
      ，
      1°当x＞
      7+
      √85
      6
      时，显然F（x）=（x-1）2-2单调递增，故此时无最大值；
      2°当0≤x≤
      7+
      √85
      6
      时，F（x）=
      1
      3
      x单调递增，所以0≤F(x)≤
      7+
      √85
      18
      ；
      3°当
      -7-
      √85
      6
      ＜x＜0时，F（x）=-（x+1）2+2，有F′（x）=-2x-2，令F′（x）=0，则x=-1，易知，当x=-1时，F（x）有极大值F（-1）；
      4°当x≤
      -7-
      √85
      6
      时，F（x）=
      1
      3
      x单调递增，故F（x）≤
      -7-
      √85
      18
      ．

      综上可知：y=F（x）既无最大值，也无最小值，但有极大值F（-1），而在(-
      7+
      √85
      6
      ，-1]上单调递增，在[-1，0]上单调递减．
      故应选A．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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