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设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数k,对于任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数f(x)为D上的“k型增函数”,已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x-a|-2a,若f(x)为R上的“2014型增函数”,则实数a的取值范围是( )试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数k,对于任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数f(x)为D上的“k型增函数”,已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x-a|-2a,若f(x)为R上的“2014型增函数”,则实数a的取值范围是( )
试题解答
C
解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0.
设x<0,则-x>0.∴f(-x)=|-x-a|-2a=|x+a|-2a,
∴f(x)=-f(-x)=-|x+a|+2a.
∴f(x)=
{
|x-a|-2a ,x>0
0 ,x=0
-|x-a|+2a ,x<0
.
分类讨论:①当x>0时,由f(x+2014)>f(x),可得|x+2014-a|-2a>|x-a|-2a,
化为|x-(a-2014)|>|x-a|,由绝对值的几何意义可得a+a-2014<0,解得
a<
2014
2
=1007.
②当x<0时,由f(2014+x)>f(x),
分为以下两类研究:当x+2014<0时,可得-|x+2014+a|+2a>-|x+a|+2a,
化为|x+2014+a|<|x+a|,由绝对值的几何意义可得-a-a-2014>0,解得a<1007.
当x+2014>0,|x+2014-a|-2a>-|x+a|+2a,化为|x+2014-a|+|x+a|≥|2014-2a|>4a,
故a≤0时成立.
当a>0时,a<
2014
6
=
1007
3
,
③当x=0时,由f(2014)>f(0)可得|2014-a|-2a>0,当a≤0时成立,当a>0时,a<
2014
3
.
综上可知:a的取值范围是a<
1007
3
.
故选:C.
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2在(-∞,4)上是增函数,则a的范围是( )?
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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