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  • 已知函数f（x）=(logax)2-logax-2（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a=2时，求f（2）；（Ⅱ）求解关于x的不等式f（1+x1-x）＞0；（Ⅲ）若函数f（x）在[2，4]的最小值为4，求实数a的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=(logax)2-logax-2（a＞0，a≠1）．
      （Ⅰ）当a=2时，求f（2）；
      （Ⅱ）求解关于x的不等式f（
      1+x
      1-x
      ）＞0；
      （Ⅲ）若函数f（x）在[2，4]的最小值为4，求实数a的值．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）当a=2时，f（2）=(log22)2-log22-2=1-1-2=-2 …．（2分）
      （Ⅱ）令t=
      1+x
      1-x
      ，t∈（0，+∞）
      f（
      1+x
      1-x
      ）＞0等价于（logat-2）（logat+1）＞0
      ∴log      at???2或logat＜-1，
      当a＞1时，t＞a      2或t＜
      1
      a

      ∴
      1+x
      1-x
      ＞a2或
      1+x
      1-x
      ＜
      1
      a

      ∴
      a2-1
      a2+1
      ＜x＜1或-1＜x＜
      1-a
      1+a
      ；
      当0＜a＜1时，t＜a      2或t＞
      1
      a

      ∴
      1+x
      1-x
      ＜a2或
      1+x
      1-x
      ＞
      1
      a

      ∴-1＜x＜
      a2-1
      a2+1
      或
      1-a
      1+a
      ＜x＜1 …．（7分）
      （Ⅲ）令log      ax=v，y=f（v）=v2-v-2，对称轴为v=
      1
      2
      ．
      当a＞1时，v∈[log      a2，loga4]
      ①当1＜a≤4，即
      1
      2
      ≤loga2时，f（v）在[loga2，loga4]上单调递增，
      ∴f      min（v）=f（loga2）=(loga2)2-loga2-2=4
      ∴log      a2=3或loga2=-2（不合题意）
      ∴a=
      3√2

      ②当4＜a＜16，即log      a2＜
      1
      2
      ＜loga4时，fmin(v)=f(
      1
      2
      )≠4；
      ③当a≥16，即
      1
      2
      ≥loga4时，fmin（v）=f（loga4）=(loga4)2-loga4-2=4
      ∴log      a4=3或loga4=-2（不合题意）
      当0＜a＜1时，v∈[log      a4，loga2]，显然
      1
      2
      ≥loga2，
      ∴f      min（v）=f（loga2）=(loga2)2-loga2-2=4
      ∴log      a2=-2或loga2=3（不合题意）
      ∴a=
      √2
      2

      综上：a=
      3√2
      或a=
      √2
      2
      …．（12分）
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