函数f（x）=log3（ax-1），（a＞0，且a≠1）．（1）求该函数的定义域；（2）若该函数的图象经过点M（2，1），讨???f（x）的单调性并证明．试题及答案-单选题-云返教育

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函数f（x）=log₃（a^x-1），（a＞0，且a≠1）．
（1）求该函数的定义域；
（2）若该函数的图象经过点M（2，1），讨???f（x）的单调性并证明．

试题解答

见解析

解：（1）当a＞1时，由函数f（x）=log₃（a^x-1），可得a^x-1＞0，a^x＞1，解得x＞0，故函数的定义域为（0，+∞）．
当0＜a＜1时，由函数f（x）=log₃（a^x-1），可得a^x-1＞0，a^x＞1，解得x＜0，???函数的定义域为（-∞，0）．
（2）若该函数的图象经过点M（2，1），则有 log₃（a²-1）=1，∴a²=4，∴a=2．
故函数f（x）=log₃(2^x-1)，它的定义域为（0，+∞）．
设x₂＞x₁＞0，则 f（x₂）-f（x₁）=log₃(2^x₂-1)-log₃(2^x₁-1)=log₃

2^x₂-1

2^x₁-1

．
再由题设x₂＞x₁＞0，可得2^x₂-1＞2^x₁-1＞0，∴

2^x₂-1

2^x₁-1

＞1，∴log₃

2^x₂-1

2^x₁-1

＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），
故函数f（x）=log₃(2^x-1) 在（0，+∞）上是增函数．

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函数f（x）=log3（ax-1），（a＞0，且a≠1）．（1）求该函数的定义域；（2）若该函数的图象经过点M（2，1），讨???f（x）的单调性并证明．试题及答案-单选题-云返教育

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