已知函数f(x)=x+ax+2，x∈[1，+∞)．（Ⅰ）当a=12时，利用函数单调性的定义判断并证明f（x）的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=x+

+2，x∈[1，+∞)．
（Ⅰ）当a=

时，利用函数单调性的定义判断并证明f（x）的单调性，并求其值域；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁＞0，△y=f(x₂)-f(x₁)=x₂+

x₂

+2-x₁-

x₁

-2=(x₂-x₁)(1-

x₁x₂

)，…（2分）
当a=

时，f(x₂)-f(x₁)=(x₂-x₁)(1-

2x₁x₂

)，
∵1≤x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，1-

2x₁x₂

＞0，恒成立
∴△y＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴当x=1时，f（x）取得最小值为f(1)=1+

+2=

，
∴f（x）的值域为[

，+∞)．
（Ⅱ）f(x)=x+

+2可变为f(x)=

x²+2x+a

，
∵对任意x∈[1，+∞)，f(x)=

x²+2x+a

＞0，恒成立
∴只需对任意x∈[1，+∞），x²+2x+a＞0恒成立．
设g（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞），
∵g（x）的对称轴为x=-1，∴只需g（1）＞0便可，g（1）=3+a＞0，
∴a＞-3．

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