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  • 已知f（x）=x+mx图象过点（ 2，4 ），（1）求f（x）解析式与定义域；（2）判断f（x）奇偶性；（3）已知n≥4，f（x）在[a，a+1]有最小值为n，求正数a范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）=x+
      m
      x
      图象过点（ 2，4 ），
      （1）求f（x）解析式与定义域；
      （2）判断f（x）奇偶性；
      （3）已知n≥4，f（x）在[a，a+1]有最小值为n，求正数a范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）因为f（x）的图象过点（2，4），
      所以有f（2）=4，即2+
      m
      2
      =4，解得m=4，
      故f（x）=x+
      4
      x
      ．定义域为{x|x≠0}．
      （2）∵x≠0，f（x）+f（-x）=（x+
      4
      x
      ）+（-x+
      4
      -x
      ）=0，
      所以f（-x）=-f（x），
      ∴f（x）奇函数．
      （3）当x＞0时，f（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增，f（2）=4，f（1）=f（4）=5．
      作出函数f（x）=x+
      4
      x
      在（0，+∞）上的图象，如下图所示：
      由图象得①当n=4时，有a≤2≤a+1，解得1≤a≤2．
      ②当4＜n＜5时，
      若1＜a+1＜2，即0＜a＜1，f（x）在[a，a+1]上递减，f      min（x）=f（a+1）=n，解得a=
      n-
      √n2-16
      2
      -1．
      若2＜a＜3，f（x）在[a，a+1]上递增，f      min（x）=f（a）=a+
      4
      a
      =n，解得a=
      n+
      √n2-16
      2
      ．
      ③当n≥5时，f（x）在[a，a+1]上递增，f      min（x）=f（a）=a+
      4
      a
      =n，解得a=
      n+
      √n2-16
      2
      ．
      综上所述，当当n=4时，1≤a≤2；当4＜n＜5时，a=
      n-
      √n2-16
      2
      -1或a=
      n+
      √n2-16
      2
      ；当n≥5时，a=
      n+
      √n2-16
      2
      ．
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