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  • 已知A1，A2，…，An，…依次在x轴上，A1(1，0)，A2(5，0)，AnAn+1=12An-1An（n=2，3，…），点B1，B2，…，Bn，…依次在射线y=x（x≥0）上，且B1（3，3），|OBn|=|OBn-1|+2√2(n=2，3，…)（1）用n表示An，Bn的坐标；（2）若四边形AnAn+1Bn+1Bn面积为Sn，求Sn的最大值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知A1，A2，…，An，…依次在x轴上，A1(1，0)，A2(5，0)，
      AnAn+1
      =
      1
      2
      An-1An
      （n=2，3，…），点B1，B2，…，Bn，…依次在射线y=x（x≥0）上，且B1（3，3），|
      OBn
      |=|
      OBn-1
      |+2
      √2
      (n=2，3，…)
      （1）用n表示A      n，Bn的坐标；
      （2）若四边形A      nAn+1Bn+1Bn面积为Sn，求Sn的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵
      AnAn+1
      =
      1
      2
      An-1An
      ，又∵A1(1，0)，A2(5，0)
      ∴
      AnAn+1
      =
      1
      2n-1
      A1A2
      =
      1
      2n-1
      (4，0)=(
      1
      2n-3
      ，0)
      ∴
      A1An
      =
      A1A2
      +
      A2A3
      +…+
      An-1An
      =（4+2+…+
      1
      2n-4
      ，0）=（8-
      16
      2n
      ，0）
      ∴      An(9-
      16
      2n
      ，0)
      又∵B      1（3，3），
      ∴|
      OB1
      |=3
      √2

      又∵|
      OBn
      |=|
      OBn-1
      |+2
      √2
      (n=2，3，…)
      ∴|
      OBn
      |=（2n+1）
      √2

      ∵点B      1，B2，…，Bn，…依次在射线y=x（x≥0）上，
      ∴B      n（2n+1，2n+1）
      （2）∵
      |AnAn+1
      |=
      1
      2n-3
      ，△AnAn+1Bn+1的底面边AnAn+1的高为h1=2n+3，
      又∵
      |BnBn+1
      |=2
      √2
      ，点An(9-
      16
      2n
      ，0)到直线y=x的距离为h2=
      9-
      16
      2n
      √2

      ∴S      n=
      1
      2
      ?(2n+3)?
      1
      2n-3
      +
      1
      2
      ?2
      √2
      ?
      9-(
      1
      2
      )n-4
      √2
      =9+(8n-4)(
      1
      2
      )n
      ∴S      n-Sn-1=(20-8n)(
      1
      2
      )n
      当n≤2时，S      n-Sn-1＞0；
      当n≥2时，S      n-Sn-1＜0；
      ∴S      1＜S2＞S3＞…＞Sn＞…
      ∴S      max=S2=12
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