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已知函数,.(1)当b=0时,若f(x)在(-∞,2]上单调递减,求a的取值范围;(2)求满足下列条件的所有整数对(a,b):存在x,使得f(x)是f(x)的最大值,g(x)是g(x)的最小值;(3)对满足(II)中的条件的整数对(a,b),试构造一个定义在D=x|x∈R且x≠2k,k∈Z上的函数h(x),使h(x+2)=h(x),且当x∈(-2,0)时,h(x)=f(x).试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数
,
.
(1)当b=0时,若f(x)在(-∞,2]上单调递减,求a的取值范围;
(2)求满足下列条件的所有整数对(a,b):存在x
,使得f(x
)是f(x)的最大值,g(x
)是g(x)的最小值;
(3)对满足(II)中的条件的整数对(a,b),试构造一个定义在D=x|x∈R且x≠2k,k∈Z上的函数h(x),使h(x+2)=h(x),且当x∈(-2,0)时,h(x)=f(x).
试题解答
见解析
(1)当b=0时,f(x)=ax
2
-4x,(1分)
若a=0,f(x)=-4x,则f(x)在(-∞,2]上单调递减,符合题意;(3分)
若a≠0,要使f(x)在(-∞,2]上单调递减,
必须满足
(5分)
∴0<a≤1.综上所述,a的取值范围是[0,1](6分)
(2)若a=0,
,则f(x)无最大值,(7分)
故a≠0,∴f(x)为二次函数,
要使f(x)有最大值,必须满足
即a<0且
,(8分)
此时,
时,f(x)有最大值.(9分)
又g(x)取最小值时,x
=a,(10分)
依题意,有
,则
,(11分)
∵a<0且
,∴
,得a=-1,(12分)
此时b=-1或b=3.
∴满足条件的整数对(a,b)是(-1,-1),(-1,3).(13分)
(3)当整数对是(-1,-1),(-1,3)时,f(x)=-x
2
-2x∵h(x+2)=h(x),
∴h(x)是以2为周期的周期函数,(14分)
又当x∈(-2,0)时,h(x)=f(x),构造h(x)如下:当x∈(2k-2,2k),k∈Z,则,h(x)=h(x-2k)=f(x-2k)=-(x-2k)
2
-2(x-2k),
故h(x)=-(x-2k)
2
-2(x-2k),x∈(2k-2,2k),k∈Z.(16分)
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