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  • 已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；（2）对（1）中的g（x）．命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数；如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，求f（2）的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．
      （1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；
      （2）对（1）中的g（x）．命题P：函数f（x）在区间[（a+1）      2，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数；如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
      （3）在（2）的条件下，求f（2）的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意可得 h（x）=x2+lg|a+2|； g（x）=（a+1）x．
      （2）由二次函数f（x））=x      2+（a+1）x+lg|a+2|的图象是开口向上的抛物线，且的对称轴为 x=-
      a+1
      2
      ，
      在区间[（a+1）      2，+∞）上是增函数，故有 -
      a+1
      2
      ≤(a+1)2，解得a≤-
      3
      2
      或a≥-1，因为a≠-2．
      由函数g（x）是减函数得a+1＜0，解得a＜-1，a≠-2．
      当命题P真且命题Q假时，由
      {
      a≤-
      3
      2
      ，或a≥-1
      a≥-1
      a≠-2
      ，解得a≥-1．
      当命题P假且命题Q真时，由
      {
      -
      3
      2
      ＜a＜-1
      a＜-1
      a≠-2
      ，即得-
      3
      2
      ＜a＜-1．
      故当命题P、Q有且仅有一个是真命题，得a的取值范围是[-1，+∞)∪(-
      3
      2
      ，-1)=(-
      3
      2
      ，+∞)．
      （3）f（2）=4+2a+2+lg|a+2|=6+2a+lg（a+2），因为在a∈(-
      3
      2
      ，+∞)上递增，
      所以，f(2)＞6+2?(-
      3
      2
      )+lg(-
      3
      2
      +2)=3-lg2，即：f（2）∈（3-lg2，+∞）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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