对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2bx-4a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数f（x）=ax²+2bx-4a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）设f（x）=2^x+m是定义在[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（-x）+f（x）=0有解．
即f（x）+f（-x）=0?2a（x²-4）=0，
有解x=±2，∴f（x）为“局部奇函数”．
（2）当f（x）=2^x+m时，f（x）+f（-x）=0可转化为2^x+2^-x+2m=0，
∵f（x）的定义域为[-1，1]，
∴方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，
令t=2^x∈[

，2]，
则-2m=t+

．
∵g(t)=t+

在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴g(t)∈[2，

]，
∴-2m∈[2，

]，
即m∈[-

，-1]．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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