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  • 设函数f(x)=log22x-12x+1(x＜-12或x＞12)．（1）证明：f（x）是奇函数；（2）求f（x）的单调区间；（3）写出函数g(x)=log22x+12x+3图象的一个对称中心．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f(x)=log2
      2x-1
      2x+1
      (x＜-
      1
      2
      或x＞
      1
      2
      )．
      （1）证明：f（x）是奇函数；
      （2）求f（x）的单调区间；
      （3）写出函数g(x)=log      2
      2x+1
      2x+3
      图象的一个对称中心．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f(x)=log2
      2x-1
      2x+1
      (x＜-
      1
      2
      或x＞
      1
      2
      )
      且f(-x)=log      2
      -2x-1
      -2x+1
      =log2
      2x+1
      2x-1
      =log2(
      2x-1
      2x+1
      )-1=-log2
      2x-1
      2x+1
      =-f（x）
      即f（x）是奇函数；（4分）
      （2））∵函数f(x)=log      2
      2x-1
      2x+1
      =log2(1-
      2
      2x+1
      )
      ∵在(-∞，-
      1
      2
      )上u=1-
      2
      2x+1
      为增函数，y=log2u也为增函数
      ∴(-∞，-
      1
      2
      )是函数f(x)=log2
      2x-1
      2x+1
      的单调递增区间
      又∵奇函数在对称区间上单调性相同
      ∴(
      1
      2
      ，+∞)也是函数f(x)=log2
      2x-1
      2x+1
      的单调递增区间…（6分）
      （3）由（1）中f（x）是奇函数
      故f（x）图象的对称中心???原点（0，0）
      ∵函数g(x)=log      2
      2x+1
      2x+3
      =log2
      2(x+1)-1
      2(x+1)+1
      的图象是由f（x）图象向左平移一个单位得到的
      故函数g(x)=log      2
      2x+1
      2x+3
      图象的对称中心为（-1，0）…（4分）
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