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设函数f(x)=x+a2x(a>0),(1)求证:函数f(x)是奇函数;(2)试用函数的单调性的定义证明函数f(x)在区间(0,a]单调递减;(3)试判断(不必证明)函数f(x)在定义域上的单调性.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)=x+
a
2
x
(a>0),
(1)求证:函数f(x)是奇函数;
(2)试用函数的单调性的定义证明函数f(x)在区间(0,a]单调递减;
(3)试判断(不必证明)函数f(x)在定义域上的单调性.
试题解答
见解析
解:(1)证明:因为f(x)的定义域为{x∈R|x≠0},且f(-x)=-x-
a
2
x
=-f(x),
故f(x)是奇函数;
(2)证明:设0<x
1
<x
2
≤a,则f(x
1
)-f(x
2
)=x
1
+
a
2
x
1
-x
2
-
a
2
x
2
=(x
1
-x
2
)(1-
a
2
x
1
x
2
).
因为0<x
1
<x
2
≤a,所以0<x
1
x
2
<a
2
,从而1-
a
2
x
1
x
2
<0且x
1
-x
2
<0,故f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
).
因此函数f(x)在区间(0,a]上单调递减;同理可以证明函数f(x)在区间[a,+∞)上单调递增;
(3)∵f(x)是奇函数;在区间(0,a]上单调递减,在区间[a,+∞)上单调递增;
∴函数f(x)在区间(-∞,-a]上单调递增,在区间[-a,0)上单调递减,
综上所述:函数f(x)在区间(-∞,-a]上单调递增,在区间[-a,0)上单调递减,在(0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
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正整数指数函数
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