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  • 已知f（x）=x+ax，且f（1）=2．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）判断函数f（x）在（0，+∞）???的单调性，并加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）=x+
      a
      x
      ，且f（1）=2．
      （1）求a的值；
      （2）判断函数f（x）的奇偶性；
      （3）判断函数f（x）在（0，+∞）???的单调性，并加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）=x+
      a
      x
      ，且f（1）=2
      ∴1+a=2
      ∴a=1…（2分）
      （2）函数f（x）=x+
      1
      x
      的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
      ∵f（-x）=-x-
      1
      x
      =-（x+
      1
      x
      ）=-f（x）
      ∴f（x）为奇函数…（4分）
      （3）函数f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数，证明如下
      设任意的x      1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，…（5分）
      则f(x      1)-f(x2)=
      (x1-x2)(x1x2-1)
      x1x2
      …（7分）
      ∵x      1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2
      ∴x1-x2＜0，且x1x2＞0
      所以当x∈（0，1）时，x      1x2＜1，即x1x2-1＜0，
      此时f（x      1）＞f（x2），f（x）为减函数…（8分）
      当x∈（1，+∞）时，x      1x2＞1，即x1x2-1＞0，
      此时f（x      1）＜f（x2），f（x）为增函数…（9分）
      所以函数f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数…（10分）
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