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  • 已知函数f（x）=ax-1ax+1（a＞0，且a≠1），设函数g(x)=f(x-12)+1（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数；（Ⅱ）①求证：g（x）+g（1-x）=2；②求g(0)+g(1100)+g(2100)+…+g(99100)+g(1)的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      ax-1
      ax+1
      （a＞0，且a≠1），设函数g(x)=f(x-
      1
      2
      )+1
      （Ⅰ）求证：f（x）是奇函数；
      （Ⅱ）①求证：g（x）+g（1-x）=2；②求g(0)+g(
      1
      100
      )+g(
      2
      100
      )+…+g(
      99
      100
      )+g(1)的值．

      试题解答

      见解析
      解：证明：（I）f（x）定义域为R，f(-x)=
      a-x-1
      a-x+1
      =
      1-ax
      1+ax
      =-f(x)，
      所以f（x）为奇函数，----------（5分）
      （Ⅱ）①g(x)+g(1-x)=f(x-
      1
      2
      )+1+f(
      1
      2
      -x)+1=f(x-
      1
      2
      )+f(
      1
      2
      -x)+2
      因为f（x）为奇函数，所以 f(x-
      1
      2
      )+f(
      1
      2
      -x)=0，
      所以g（x）+g（1-x）=2．--------------（10分）
      ②由①知g（x）+g（1-x）=2，
      所以g(0)+…+g(1)=[g(0)+g(1)]+[g(
      1
      100
      +g
      99
      100
      )]+…+[g(
      49
      100
      )+g(
      51
      100
      )]+g(
      1
      2
      )=2×50+1=101--------------------（15分）
      标签
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