已知定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1是奇函数．（Ⅰ）求a值；（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（Ⅲ）设关于x的函数F（x）=f（4x-b）+f（-2x+1）有零点，求实数b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义域为R的函数f(x)=

-2^x+a

2^x+1

是奇函数．
（Ⅰ）求a值；
（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（Ⅲ）设关于x的函数F（x）=f（4^x-b）+f（-2^x+1）有零点，求实数b的取值范围．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为R且为奇函数，
∴f（0）=

a-1

=0，解得a=1，经检验符合．
（Ⅱ）∵f(x)=

-2^x+1

2^x+1

=-1+

2^x+1

，f（x）在R上位减函数
证明：设x₁＜x₂，
则f(x₁)-f(x₂)=-1+

2^x₁+1

-(-1+

2^x₂+1

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

＞0，（∵2^x₂＞2^x₁）
∴f（x）在R上是减函数．
（Ⅲ）由F（x）=0，
得f（4^x-b）+f（-2^x+1）=0，
∵函数f（x）是奇函数
∴f（4^x-b）=f（2^x+1）
即4^x-b=2^x+1有解，
∴b=4^x-2^x+1=（2^x）²-2?2^x≥-1，
∴实数b的取值范围是b≥-1

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已知定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1是奇函数．（Ⅰ）求a值；（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（Ⅲ）设关于x的函数F（x）=f（4x-b）+f（-2x+1）有零点，求实数b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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