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已知函数f（x）=3x-2-x3x+2-x．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅲ）写出f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=

3^x-2^-x

3^x+2^-x

．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）写出f（x）的值域．

见解析

解：（Ⅰ）由题意可得：x∈R，所以定义域关于原点对称．
又因为 f（x）=

3^x-2^-x

3^x+2^-x

2^x?3^x-1

2^x?3^x+1

6^x-1

6^x+1

所以f（-x）=

6^-x-1

6^-x+1

1-6^x

1+6^x

=-f（x），
所以f（x）是奇函数．
（Ⅱ）f（x）=

6^x-1

6^x+1

(6^x+1)-2

6^x+1

=1-

6^x+1

，在R上是增函数，
证明如下：任意取x₁，x₂，并且x₁＞x₂∴6^x₁＞6^x₂＞0
则 f（x₁）-f（x₂）=

6^x₂+1

6^x₁+1

2(6^x₁-6^x₂)

(6^x₁+1)( 6^x₂+1)

＞0
所以f（x₁）＞f（x₂），则f（x）在R上是增函数．
（Ⅲ）∵0＜

6^x+1

＜2
∴f（x）=1-

6^x+1

∈（-1，1），
所以f（x）的值域为（-1，1）．

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