已知函数f（x）=log21+x1-x．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（3）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用定义证明．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=log₂

1+x

1-x

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（3）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用定义证明．

试题解答

见解析

解：（1）∵由

1+x

1-x

＞0，得（1+x）（1-x）＞0，解之得-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域是（-1，1）（3分）
（2）由（1）知x∈（-1，1），定义域关于原点对称
∵f（-x）=log₂

1+(-x)

1-(-x)

=log₂

1-x

1+x

而-f（x）=-log₂

1+x

1-x

=log₂(

1+x

1-x

)^-1=log₂

1-x

1+x

．
∴f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是奇函数．（6分）
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，
f（x₂）-f（x₁）=log₂

1+x₂

1-x₂

-log₂

1+x₁

1-x₁

=log₂

(1-x₁)(1+x₂)

(1+x₁)(1-x₂)

∵1-x₁＞1-x₂＞0；1+x₂＞1+x₁＞0，
∴

(1-x₁)(1+x₂)

(1+x₁)(1-x₂)

＞1，结合底数2＞1得log₂

(1-x₁)(1+x₂)

(1+x₁)(1-x₂)

＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，得f（x₁）＜f（x₂）
因此，函数f（x）=log₂

1+x

1-x

在（-1，1）上是增函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f（x）=log21+x1-x．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（3）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用定义证明．试题及答案-单选题-云返教育

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