已知函数f（x）=3x2+（p+2）x+3，p为实数．（1）若函数是偶函数，试求函数f（x）在区间[-1，3]上的值域；（2）已知α：函数f（x）在区间[-12，+∞)上是增函数，β：方程f（x）=p有小于-2的实根．试问：α是β的什么条件（指出充分性和必要性）？请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=3x²+（p+2）x+3，p为实数．
（1）若函数是偶函数，试求函数f（x）在区间[-1，3]上的值域；
（2）已知α：函数f（x）在区间[-

，+∞)上是增函数，β：方程f（x）=p有小于-2的实根．试问：α是β的什么条件（指出充分性和必要性）？请说明理由．

试题解答

见解析

解：（1）由函数y=f（x）是偶函数，得：
f（-x）=3x²+（p+2）（-x）+3=3x²+（p+2）x+3=f（x）恒成立
∴p+2=0即p=-2 （2分）；
f（x）=3x²+3在x=0处取最小值3，在x=3处取最大值30
∴函数f（x）在区间[-1，3]上的值域为[3，30]．（2分）
（2）∵函数f（x）在区间[-

，+∞)上是增函数
∴-

p+2

＜-

即p≥1
∴α：p≥1；（2分）；
方程f（x）=p有小于-2的实根则△≥0，较小的根小于小于-2，则β：p＞

（4分）
所以：α是β的必要非充分条件（2分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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