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  • 已知函数f（x）=x2+ax且f（1）=2，（1）判断并证明f（x）在定义域上的奇偶性．（2）判断并证明f（x）在（1，+∞）的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      x2+a
      x
      且f（1）=2，
      （1）判断并证明f（x）在定义域上的奇偶性．
      （2）判断并证明f（x）在（1，+∞）的单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）=
      x2+a
      x
      ，f（1）=2，
      ∴a=1
      ∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
      又∵f（-x）=-x+
      1
      -x
      =-（x+
      1
      x
      ）=-f（x），
      ∴函数f（x）在定义域上是奇函数．
      （2）设1＜x      1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=（x1+
      1
      x1
      ）-（x2+
      1
      x2
      ）
      =（x      1-x2）+（
      1
      x1
      -
      1
      x2
      ）
      =（x      1-x2）（1-
      1
      x1x2
      ）
      =（x      1-x2）（
      x1x2-1
      x1x2
      ），
      ∵1＜x      1＜x2
      ∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0
      ∴f（x      1）＜f（x2）
      所以函数f（x）在（1，+∞）是单调递增函数．
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