已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g(x)=bx-1a2x+2b，（1）若f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不等的实根x1，x2（x1＜x2），则①试判断函数f（x）在区间（-1，1）上是否具有单调性，并说明理由；②若方程f（x）=0的两实根为x3，x4（x3＜x4），求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1和函数g(x)=

bx-1

a²x+2b

，
（1）若f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），则
①试判断函数f（x）在区间（-1，1）上是否具有单调性，并说明理由；
②若方程f（x）=0的两实根为x₃，x₄（x₃＜x₄），求使x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立的a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），∴bx=0，∴b=0
∴g(x)=-

a²x

，∴函数g（x）为奇函数；（4分）
（2）①由g(x)=

bx-1

a²x+2b

=x得方程a²x²+bx+1=0（*）有不等实根
∴△=b²-4a²＞0及a≠0得|

|＞1即-

＜-1或-

＞1（7分）
又f（x）的对称轴x=-

?(-1，1)
故f（x）在（-1，1）上是单调函数（10分）
②x₁，x₂是方程（*）的根，∴a²x₁²+bx₁+1=0
∴bx₁=-a²x₁²-1，同理bx₂=-a²x₂²-1
∴f（x₁）=ax₁²+bx₁+1=ax₁²-a²x₁²=（a-a²）x₁²
同理f（x₂）=（a-a²）x₂²
要使x₃＜x₁＜x₂＜x₄，只需

{	a＞0 f(x₁)＜0 f(x₂)＜0

即

{	a＞0 a-a²＜0

，∴a＞1
或

{	a＜0 f(x₁)＞0 f(x₂)＞0

即

{	a＜0 a-a²＞0

，解集为φ
故a的取值范围a＞1（16分）

标签

必修1 人教A版单选题高中数学

试题详情

试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题