见解析
解:(1)证明:令x=y=0,得f(0)=0
令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数…(6分)
(2)解:对任取实数x1、x2∈[-9,9]且x1<x2,这时,x2-x1>0,
f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2-x1)
因为x>0时f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x)在[-9,9]上是减函数
故f(x)的最大值为f(-9),最小值为f(9)
而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12
∴f(x)在区间[-9,9]上的最大值为12,最小值为-12 …(12分)