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  • 设函数f(x)=√a2-x2|x+a|+a．（a∈R且a≠0）（1）分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性．（2）在a∈R且a≠0的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f(x)=
      √a2-x2
      |x+a|+a
      ．（a∈R且a≠0）
      （1）分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性．
      （2）在a∈R且a≠0的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=1时，f(x)=
      √1-x2
      |x+1|+1
      ，由1-x2≥0，
      ∴-1≤x≤1．所以f(x)=
      √1-x2
      x+2

      ∵f(
      1
      2
      )=
      √3
      5
      ，f(-
      1
      2
      )=
      √3
      3
      ，∴f(
      1
      2
      )≠f(-
      1
      2
      )，f(
      1
      2
      )≠-f(-
      1
      2
      )，
      ∴f（x）为非奇非偶函数． （4分）
      （如举其他的反例同样给分）
      当a=-2时，f(x)=
      √4-x2
      |x-2|-2
      ，由4-x2≥0，得-2≤x≤2，
      所以f(x)=
      √4-x2
      -x
      ，x∈[-2，0）∪（0，2]，
      ∵f（-x）=-f（x），
      ∴f（x）为奇函数．（4分）
      （2）当a＞0时，f（x）为非奇非偶函数；当a＜0时，f（x）为奇函数．（2分）a＞0时，由a      2-x2≥0，得-a≤x≤a，
      ∴f(x)=
      √a2-x2
      x+2a
      ，可以验证：对任意的a＞0，f(
      a
      2
      )≠f(-
      a
      2
      )，f(-
      a
      2
      )≠-f(
      a
      2
      )，
      ∴f（x）为非奇非偶函数．（如举其他的反例同样给分） （3分）
      a＜0时，由a      2-x2≥0，得a≤x≤-a，∴f(x)=
      √a2-x2
      -x
      ，x∈[a，0)∪(0，-a]，
      并且对定义域中任意的x，f（-x）=-f（x）成立，∴f（x）为奇函数．（3分）
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