已知函数f(x)=1+1x-1，g(x)=f(2|x|)．（I）求函数f（x）和g（x）的定义域；（II）函数f（x）和g（x）是否具有奇偶性，并说明理由；（III）证明函数g（x）在（-∞，0）上为增函数．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=1+

x-1

，g(x)=f(2^|x|)．
（I）求函数f（x）和g（x）的定义域；
（II）函数f（x）和g（x）是否具有奇偶性，并说明理由；
（III）证明函数g（x）在（-∞，0）上为增函数．

见解析

解：（I）g(x)=f(2^|x|)=1+

2^|x|-1

，
∵2^|x|-1≠0?x≠0又1-x≠0?x≠1
函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠1}
函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}…（5分）
（II）由f（x）的定义域为{x|x≠1}可知函数f（x）为非奇非偶函数，
又g(-x)=1+

2^|-x|-1

=1+

2^|x|-1

=g(x)，
且函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}的定义域关于原点对称，
???g（x）为偶函数…（10分）
（III）设x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂g(x₁)-g(x₂)=

2^|x₁|-1

2^|x₂|-1

2^|x₂|-2^|x₁|

(2^|x₁|-1)(2^|x₂|-1)

，
∵x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
∴|x₁|＞|x₂|＞0
所以2^|x₁|＞2^|x₂|，2^|x₂|-2^|x₁|＜0，
2^|x₁|-1＞0，2^|x₂|-1＞0?g(x₁)＜g(x₂)
根据函数单调性的定义知函数g（x）在（-∞，0）上为增函数…（15分）

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