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  • 设函数f（x）的定义域关于原点对称，对定义域内任意的x存在x1和x2，使x=x1-x2，且满足：（1）f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)1+f(x1)?f(x2)；（2）当0＜x＜4时，f（x）＞0请回答下列问题：（1）判断函数的奇偶性并给出理由；（2）判断f（x）在（0，4）上的单调性并给出理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）的定义域关于原点对称，对定义域内任意的x存在x1和x2，使x=x1-x2，且满足：
      （1）f(x      1-x2)=
      f(x1)-f(x2)
      1+f(x1)?f(x2)
      ；
      （2）当0＜x＜4时，f（x）＞0
      请回答下列问题：
      （1）判断函数的奇偶性并给出理由；
      （2）判断f（x）在（0，4）上的单调性并给出理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数f（x）在定义域内是奇函数．
      因为在定义域内，对任意x存在x      1和x2，使x=x1-x2，且满足：f(x1-x2)=
      f(x1)-f(x2)
      1+f(x1)?f(x2)
      ；
      由于函数f（x）的定义域关于原点对称，-x必与x同时在定义域内，
      同样存在x      1和x2，使-x=x2-x1，且满足：f(-x)=f(x2-x1)=
      f(x2)-f(x1)
      1+f(x2)?f(x1)
      ，即f（x）=-f（-x），
      ∴f（-x）=-f（x），
      ∴函数f（x）在定义域内是奇函数．
      （2）函数f（x）在（0，4）上是单调递增函数．
      任意取x      1，x2∈（0，4），且x1＜x2，则x2-x1＞0，
      ∵函数f（x）在定义域内是奇函数，且当0＜x＜4时，f（x）＞0，
      ∴f（x      1）＞0，f（x2）＞0，f（x1-x2）=-f（x2-x1）＜0，
      又∵f(x      1-x2)=
      f(x1)-f(x2)
      1+f(x1)?f(x2)
      ，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），
      ∴函数f（x）在（0，4）上是单调递增函数．
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